Resumé La formation d'enseignants déjà diplômés est un domaine sous-exploré dans la recherche sur l'enseignement des mathématiques. Nous présentons ici les résultats d’une expérience d’enseignement visant à former des enseignants diplômés. Cette expérience a eu lieu à l'Université de Huelva avec un total de 39 enseignants, dans le cadre d'un cours d'adaptation au diplôme de premier cycle. Le modèle de connaissances spécialisées du professeur de mathématiques a été utilisé comme base théorique de l'expérience, ce qui a permis de générer une hypothèse de progression de l'apprentissage. Nous montrerons à la fois la conception de l'expérience et son analyse rétrospective. Les résultats de l'étude montrent que les enseignants améliorent l'utilisation des éléments de connaissance liés à son connaissance des matières et à l'enseignement des mathématiques.

Resumo: A formação de professores já formados é uma área pouco explorada na pesquisa em Educação Matemática. Apresentamos aqui os resultados de um experimento de ensino voltado para a formação de professores graduados. Este experimento ocorreu na Universidade de Huelva, com um total de 39 professores, no contexto de um curso de adaptação ao grau primário. Para fundamentação teórica do experimento, foi utilizado o modelo de conhecimento especializado do Professor de Matemática, que por sua vez permitiu gerar uma hipótese de progressão da aprendizagem. Mostraremos o desenho do experimento e sua análise retrospectiva. Os resultados do estudo mostram que os professores melhoram o uso de elementos do conhecimento relacionados ao suo conhecimento das disciplinas e ao ensino de matemática.

Abstract The education of graduated teachers is an underexplored field in Mathematics Education. We present a teaching experiment focusing graduated teacher education, structured by the model of Mathematics Teachers’ Specialized Knowledge. This experiment took place in the University of Huelva with 39 primary teachers, in the context of a course aiming to actualize the old teaching degrees to the new ones. The experiment was founded in the model of Mathematics Teachers Specialized Knowledge, that also was used to generate a progression hypothesis. We will show both the design of the experiment, and the retrospective analysis of this cycle. The results of the study show that the primary school teachers involved in the experiment improve their use of their knowledge of topics and knowledge of mathematics teaching.

Resumen La formación de maestros ya egresados es un área infraexplorada en la investigación en Educación Matemática, especialmente en relación con su conocimiento. Presentamos aquí los resultados de un experimento de enseñanza orientado a la formación de maestros egresados. Este experimento tuvo lugar en la Universidad de Huelva con un total de 39 maestros, en el contexto de un curso de adaptación al Grado de Primaria. Para la fundamentación teórica del experimento usamos el modelo de Conocimiento Especializado del Profesor de Matemáticas, que permitió a su vez generar una hipótesis de progresión de aprendizaje. Mostraremos tanto el diseño del experimento, como el análisis retrospectivo del mismo. Los resultados del estudio evidenciaron que los maestros mejoran en el uso de su conocimiento de los temas, y de la enseñanza de las matemáticas.

Abstrac: This paper presents the analysis of an observed lesson on Thales’s Theorem in a Chilean secondary school, using the Mathematics Teacher’s Spe-cialised Knowledge (MTSK) model. We consider various aspects of the teacher’s specialised knowledge with respect to Thales’s Theorem itself, as an element of teaching and learning, and to demonstrations, as a mathematical practice, in general. From this analysis, and guided by the Chilean syllabus requirement for this topic, we construct a snapshot of the interrelated elements of knowledge deployed by the teacher, which enables us to account for how he brings par-ticular aspects into focus. The findings show that the utility which he attaches to the theorem, that of being able to apply it, alongside his view of it as a result of similarity and his emphasis on a numerical approach, is closely linked to his knowledge of registers, the interconnections he makes with other content items, his use of resources, the kind of tasks he sets up, and the knowledge of math-ematical practices he makes evident.

Resumen: Este artículo, partiendo de la observación de una lección de un profesor chileno de Educación Secundaria en la que se introduce el teorema de Thales, aborda la interpretación de dicha lección desde el conocimiento del profesor, utilizando el modelo Mathematics Teacher’s Specialised Knowledge (MTSK). Se consideran aspectos del conocimiento especializado en relación, por un lado, con el teorema de Thales como objeto de aprendizaje y enseñanza, y, por otro, con la práctica matemática de demostrar. Teniendo como referente las propuestas del currículo chileno para la enseñanza de dicho contenido, extraemos una imagen de elementos relacionados del conocimiento del profesor que nos permiten explicar qué se enfatiza en la lección. Los resultados muestran que la finalidad de aplicación que el profesor atribuye al aprendizaje del teorema, junto con su visión de este como una consecuencia de la semejanza y el énfasis en su tratamiento numérico, se muestran relacionados con el conocimiento de registros, las conexiones que establece con otros contenidos, el uso de recursos, el tipo de tareas que propone y el conocimiento de la práctica matemática que evidencia.

Abstract In this study, we approach the possible relationships between the analysis results of a classroom session with two different theoretical models: the Mathematics Teacher's Specialized Knowledge (MTSK), and the Mathematical Working Spaces (MWS). We also discuss the specialized knowledge that an university teacher of Linear Algebra deploys in a session about matrix product, and the ideal MWS of the teacher in this session. The knowledge showed explains the different genesis that the teacher prioritizes in the mathematical work he proposes. Thereby, the analysis with both models allows us to understand in depth the mathematical activity that the teacher fosters and how it is sustained by his knowledge.

Resumen En este trabajo indagamos sobre las posibles relaciones entre los resultados del análisis de una sesión de clase con dos modelos teóricos: el modelo Mathematics Teacher’s Specialised Knowledge (MTSK) y los Espacios de Trabajo Matemático (ETM). De este modo, discutimos el conocimiento especializado (MTSK) que evidencia en una sesión sobre la multiplicación de matrices un profesor universitario de álgebra lineal y el espacio de trabajo matemático (ETM) idóneo del profesor en esta sesión. El conocimiento evidenciado por el profesor parece explicar las génesis que el profesor prima en el trabajo matemático que propone. Así, el análisis con ambos modelos permite comprender mejor la actividad matemática que propicia el profesor y cómo se explica desde su conocimiento.

L'utilisation de la vidéo pour une classe d'élèves en école primaire (EP) durant la formation des futurs instituteurs confère un certain réalisme aux discussions théoriques qui ont lieu dans les cours de formation des instituteurs (l'équivalent en France des IUFM) en contribuant à la création de liens entre théorie et pratique basés sur des processus réflexifs qui permettent aux étudiants d'aller au-delà des habituels commentaires généraux. L'objectif de la présente étude consiste à identifier les conceptions sur l'enseignement et l'apprentissage des mathématiques ainsi qu'à s'interroger sur la connaissance mathématique pour l'enseignement (en particulier, la connaissance des mathématiques et l'enseignement des mathématiques et les étudiants) qu'un groupe de futurs instituteurs utilise lorsqu'il observe une vidéo conçue pour l'école primaire. Grâce à un travail de recherche qui va de pair avec une expérience sur l'enseignement (Steffe et Thompson, 2000) (dans lequel un travail propre à l'enseignement conçu pour les futurs instituteurs portant sur l'introduction du concept de division s'affine de plus en plus au fur et à mesure que des cycles successifs de mises en œuvre et d'analyse sont utilisés), on montre comment l'analyse de situations en école primaire suscite le questionnement des futurs instituteurs.

O uso de vídeos de sessões de aula de Educação Primária (EP) na formação inicial do professor oferece realismo às discussões teóricas sobre as aulas de magistério, contribuindo para a vinculação entre a teoria e a pràtica sobre a base de processos reflexivos que ajudam a transcender os habituais comentários genéricos dos estudantes para professores (EPM). O objetivo deste estudo é identificar as concepções sobre o ensino e a aprendizagem da matemática, assim como o conhecimento matemático para o ensino (particularmente o conhecimento de matemática e o ensino e o conhecimento de matemática e dos estudantes) que um grupo de EPM põe em jogo quando observa a um vídeo de EP. Através de uma criação de pesquisa consistente com um experimento de ensino (Steffe e Thompson, 2000), destaca-se como a análise de situações de ensino em EP promove o questionamento dos EPM.

The use of the Primary Education (PE) class sessions video in the initial training of teachers provides realism to the theoretical discussions of Master's degree classrooms, contributing to the link between theory and practice on the basis of reflective processes that help to transcend the normal general comments of teacher students (TS). The objective of this study is to identify the conceptions for the teaching and learning of mathematics, as well as the mathematical knowledge for teaching (particularly the knowledge of mathematics and the teaching and knowledge of mathematics and students) that a group of TS use when observing a PE video. Using a research design consistent with a teaching experiment (Steffe and Thompson, 2000) (in which an instructional design, aimed at TS, regarding the introduction of the concept of division, is refined by means of successive cycles of implementation and analysis), the way the analysis of teaching situations in PE promotes the questioning of TS is highlighted.

El uso del vídeo de sesiones de clase de Educación Primaria (EP) en la formación inicial del maestro aporta realismo a las discusiones teóricas de las aulas de magisterio, contribuyendo a la vinculación entre la teoría y la práctica sobre la base de procesos reflexivos que ayudan a trascender los habituales comentarios genéricos de los estudiantes para maestro (EPM). El objetivo de este estudio es identificar las concepciones sobre la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas así como el conocimiento matemático para la enseñanza (particularmente el conocimiento de matemáticas y la enseñanza y el conocimiento de matemáticas y los estudiantes) que un grupo de EPM pone en juego cuando observa un vídeo de EP. Mediante un diseño de investigación consistente con un experimento de enseñanza (Steffe y Thompson, 2000) (en el que un diseño instruccional, orientado a los EPM, acerca de la introducción del concepto de división, se va refinando a través de sucesivos ciclos de implementación y análisis), se pone de relieve cómo el análisis de situaciones de enseñanza en EP promueve el cuestionamiento de los EPM.

Concerning mathematics education, primary teachers initial education should encourage the acquisition of competences with respect mathematics teaching and learning, assuming that most of those related to the discipline will be learned. This objective is undermined by the numerous and serious gaps in student teachers' mathematical knowledge which impede them from getting engaging in specific pedagogical reasoning. Through an exploratory study with student teachers from the University of Huelva, we investigate the level of numerical competence they have.

Desde la educación matemática, la formación inicial del maestro debe promover la adquisición de competencias en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, asumiendo adquiridas, al menos en gran parte, las relativas a la disciplina. Este objetivo se ve mermado por las numerosas y graves lagunas en conocimientos puramente matemáticos de los estudiantes para maestro que acceden a ella, que les impide implicarse en razonamientos didácticos específicos. En este artículo describimos las competencias numéricas deseables en los estudiantes para Maestro y, a través de un estudio exploratorio con alumnos de la Universidad de Huelva, indagamos sobre el grado de adquisición de algunas de ellas.